Как переименовать должность не увольняя работника?

Можно. Только это будет не переименование, а обычный перевод на другую должность, с другими должностными обязанностями. Работник пишет заявление, подписываете с ним доп.соглашение к трудовому договору и издаёте приказ о переводе.